EXPOART EDCC 2012

Minhas Pinturas

ALGUMAS DE MINHAS PINTURAS

ALUNOS DESTAQUES

ALUNO DESTAQUE  4ª UNIDADE – COLÉGIO SANDRA MARIA

DESENHO GEOMÉTRICO

6º ANO A – JÚLIA GRAZIELY

6º ANO B – LÍLIAN BEATRIZ

7º ANO B – ANTONY  JOTA

GEOMETRIA

6º ANO A –  PETTRUS VINÍCIUS

7º ANO A – FÁBIO ALEXANDRE

MATEMÁTICA

6º ANO B – JULIANA SANTOS

7º ANO A – MARIA CLARA

7º  ANO B - NÃO TEM

8º ANO A – ADRIELLY BRITO

8º ANO B – CHRISTIAN HERCULANO

9º ANO B – JEFFERSON RODRIGUES

1º ANO ENS. MÉDIO – HELENA BEATRIZ

2º ANO ENS. MÉDIO – ÉLIDA KARINE

3º ANO ENS. MÉDIO – LEONARDO BEZERRA

PARABÉNS A TODOS!

CURIOSIDADE MATEMÁTICA

B

laise Pascal era cristão, cientista, filósofo e autor de diversos livros. Teve uma vida curta, porém incomum. Com 16 anos publicou o primeiro estudo matemático. Aos 20, inventou a calculadora. Todavia, sua vida foi marcada por doença e sofrimento. Desde os seus 18 anos de idade não viveu sequer um dia sem sentir dores. Faleceu aos 39 anos. Ele escreveu um memorial com um impressionante testemunho de sua conversão e uma oração de enfermos, tida como uma das suas obras mais preciosas. Lá consta: “Senhor, concede-me a graça de unir o teu consolo às minhas dores para que eu sofra como cristão. Não te peço que me livres da dor; mas peço-te que eu não seja entregue à dor sem o consolo do teu Espírito. Não te peço uma superabundância de consolações em qualquer dor. Também não te peço abundância de sofrimento sem o teu consolo. Mas peço-te uma coisa só, Senhor: poder experimentar ao mesmo tempo a dor e o consolo do teu Espírito. Pois é nisso que consiste a verdadeira essência de ser cristão. Não  quero sentir dor sem consolo, mas dor e consolo para que no fim eu alcance o alvo em que somente terei consolo sem qualquer dor”. Essa oração demonstra um pouco da vida de fé desse homem. Tinha um relacionamento pessoal com o Senhor, em cuja presença vivia. Quem conhece a Deus sabe em quem confiar. Sabe que ninguém melhor do que do que Deus pra compreendê-lo. Sabe a quem recorrer nos momentos de aflição. Tem uma fonte de onde buscar a força que muitas vezes lhe falta. Quem  tem um relacionamento com Deus, tem um sentido de vida mesmo passando por adversidades. Tudo isso só é possível através da fé e um relacionamento com o Senhor.

E você? Como vai seu relacionamento com Deus? E sua fé?

Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio entendimento.               (  Prov. 3: 5 )   

 

http://www.youtube.com/watch?gl=BR&hl=pt&v=N9zYOr3PsRs

CARTA DO INFERNO
VEJA ESTE VÍDEO SE TIVER CORAGEM

RAZÃO

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b  ou a : b. 

Exemplo: 

Na sala do 7º ano  “da minha escola”  há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 

Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. 

  

Lendo Razões

2/3 = DOIS ESTÁ PARA TRÊS

8/7= OITO ESTÁ PARA SETE   

Termos de uma Razão

2 / 3 = 2 É O ANTECEDENTE ( NUMERADOR) E 3 É O CONSEQUENTE
 ( DENOMINADOR)

Grandezas Especiais

Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

Exemplo: 

 
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.

As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm 

  

Velocidade média,  é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)

Exemplo:

Um carro percorre 320 km em 4h. Determine a velocidade média deste carro. 

Velocidade= 320/4 = 80km/h 

Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área. 

  

Exemplo: 

O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população  de 6.471.800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará. 

Densidade de um corpo,  é a razão entre o peso de um objeto e o seu volume.

Exemplo: uma escultura pesa 3,2kg e seu volume é de 640 ml. Calcule a densidade dessa escultura.

3,2 kg = 3200g        logo: 3200 dividido por 640ml = 5g/ml

TEORIA DOS CONJUNTOS

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a Aou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.

Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

• {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
• {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
2. Comutativa: A U B = B U A;
3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

Demonstração da propriedade comutativa:

Da definição da união de conjuntos temos:

Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.

Intersecção

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência:

2. Comutativa:

3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4. Associativa:

Demonstração da propriedade associativa:

O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):

onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:

Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B sãoconjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:

Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.

Diferença

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

• {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
• {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
• {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø

Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.

Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.

Complementar de B em A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:

Exemplos:

• A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
• A = B = {1} => complementar: A – B = Ø

Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).

Propriedades da Complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.

Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.