A Origem da Proporção

A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo ou ainda proporção dourada é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega φ (phi) e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na arte. Também é chamada de: seção áurea, secção áurea, razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência.

É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi π), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.
Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão frequente. E justamente por haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.

Proporção áurea: a razão entre a+b e a
coincide com a razão entre a e b.
Conceito:

A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 ( 14 : 7 = 2).

Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

a.d = b.c

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

       ( a + b ) : a = ( c + d ) : c   ou  ( a+b ) : b = ( c +d ) : d

Exemplos de Proporções:

01.  Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:

       a) 20

       b) 22

       c) 24

       d) 28

       e) 32

RESPOSTA: E

02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.

RESOLUÇÃO:   x = 3 e y = 6

03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.

RESOLUÇÃO:  As partes são: 32, 48 e 80.

04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.

RESOLUÇÃO: A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.

05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:

      a) 90

      b) 96

      c) 180

      d) 72

      e) -124

RESPOSTA: B

06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

      a) x = 1 e y = 6

      b) x = 2 e y = 12

      c) x = 1 e y = 12

      d) x = 4 e y = 2

      e) x = 8 e y = 12

RESPOSTA: C