EdnaldoMatemátic@: NÚMEROS BINOMIAIS

9 de maio de 2011

NÚMEROS BINOMIAIS

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)

Se n, p, k e p + k = n então

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

Exemplos:

2ª)

Se n, p, k e p p-1 0 então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome deTriângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

1. O valor de é:

21
30
35 X
40
56

2. A soma dos número binomiais e é igual a :

3. ( EESCU - SP ) A igualdade , é verificada para :

n = ( 50 ! ) ( 40 ! )
n= 50 ! /40 !
n = 2 000
n = 90 X
20

4. ( PUC - SP ) Os valores de m., para os quais , são:

m = 1 , m = 2
m = 3 , m = 4
m = 2 , m = 5 X
m = 3 , m = 2
m = 1 , m = 4

5. ( CEFET - PR ) Os valores de x na equação , cujos coeficientes binomiais são iguais, é ( são ) :

2 ou 3 X
1 ou 0
0 ou 3
2 ou 0
4

6. ( UFCE ) A soma das soluções da equação , é:

8
5 X
6
7
9

7. ( UM - SP ) Considere a seqüência de afirmações :

I .

II.

III. , implica x = 2

Associando-se V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem - se:

F, F, V
F, V, V
F, V, F X
F, F, F
V, V, V

8. ( PUC - PR ) Um colecionador possui determinado número de selos raros e diferentes entre si. Agrupando-os 4 a 4, obteve o mesmo número de grupos que se os juntasse 6 a 6. quantos, pois são os selos raros que o colecionador possuía ?

10 X
16
36
20
45

9. ( MACK - SP ) Os números binomiais e são complementares, k N e k > 3. Então k vale:

6 X
15
8
5
10

10. ( CEFET - PR ) é o mesmo que :

n
n² + n - 1
2n
2 n + 1 X
2n + 2

11. ( MED. STA. CASA - SP ) A equação

não admite solução
admite uma solução entre 1 e 5
admite uma solução entre 5 e 12 X
admite uma solução entre 12 e 20
admite uma solução maior que 20

12. ( PUC - SP ) Se e , então é igual a:

40
45 X
50
55
60

Binômio de Newton

Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².

Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Se quisermos calcular

, podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a+b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b²+ 4ab³ + b⁴

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência

a partir da anterior, ou seja, de

.
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido comobinômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais

, chamamos de coeficiente binomial de classep, do número n, o número

, que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever: