JESUS É O CAMINHO

APOCALIPSE

                                                           O FIM DO MUNDO

O CONE CIRCULAR

 

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.Veja os desenhos abaixo.

 

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

 Cones seccionados

 

Exercícios Resolvidos

Notação: Usaremos a notação R[3] para representar a raiz quadrada de 3.

1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

Como sen(60^o)=h/20, então

(1/2) R[3] = h/20

h = 10 R[3] cm

Como V = (1/3)×(A(base).h, então:

V = (1/3) pi.r²h

V = (1/3) pi.10².10 R[3]

V = (1/3) 1000.R[3].pi cm³

Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:

A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cm²

A(total) = A(lateral) + A(base)

         = pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)

         = pi.10.(10+20) = 300 pi cm²

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:

 

R[3]/2 = r/2

r = R[3] cm

Substituindo os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos

h = 1cm

V = (1/3).A(base).h = (1/3) pi.r²h

  = (1/3).pi.3 = pi cm³

3. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4.Como a área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos:

V = 16 pi = (1/3) pi c² b

c = 12 m

4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone:                                                                                               

h(prisma) = 12

A(base do prisma) = A(base do cone) = A

V(prisma) = 2×V(cone)

assim:

A×h(prisma) = 2(A h)/3

A 12 = (2/3)A h

h = 18 cm

5. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                V = V(cilindro) - V(cone)

      = A(base).h - (1/3) A(base).h

     = pi.r².h - (1/3).pi.r².h

       = (2/3) pi.r².h cm³