Classificação
do cone
Ao
observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser
classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é
perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.Veja os desenhos abaixo.
Observação: Para efeito de aplicações, os
cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones
recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um
círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Observações
sobre um cone circular reto
Um cone
circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação
(revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
A seção
meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem
o eixo do cone. Na figura acima, a seção meridiana é a região triangular
limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Em um
cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a
medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável
no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:
A Área
Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da
geratriz) e r (raio da base do cone):
A(lateral)
= pi.r.g
A Área
total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da
geratriz) e r (raio da base do cone):
A(total)
= pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)
Cones
Equiláteros
Um cone
circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região
triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do
diâmetro da base.
Cones seccionados
Exercícios
Resolvidos
Notação: Usaremos a notação R[3] para
representar a raiz quadrada de 3.
- A geratriz de um cone
circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da
base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.
Como
sen(60o)=h/20, então
(1/2) R[3] = h/20
h = 10 R[3] cm
Como V = (1/3)×(A(base).h, então:
V = (1/3) pi.r²h
V = (1/3) pi.10².10 R[3]
V = (1/3) 1000.R[3].pi cm³
Se
r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:
A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 =
200.pi cm²
A(total) = A(lateral) + A(base)
= pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)
= pi.10.(10+20) = 300 pi cm²
- A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:
R[3]/2 = r/2
r = R[3] cm
Substituindo os valores de g e de r, na relação
g²=h²+r², obtemos
h = 1cm
V = (1/3).A(base).h = (1/3)
pi.r²h
= (1/3).pi.3 = pi cm³
-
Os
catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O
cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume
16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do
triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4.Como a
área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos:
V = 16 pi = (1/3) pi c² b
c = 12 m
- As áreas das bases de um
cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma
tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a
altura do cone:
h(prisma) = 12
A(base do prisma) = A(base do
cone) = A
V(prisma) = 2×V(cone)
assim:
A×h(prisma) = 2(A h)/3
A 12 = (2/3)A h
h = 18 cm
-
Anderson
colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma
base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do
espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?
V = V(cilindro) - V(cone)
= A(base).h - (1/3) A(base).h
= pi.r².h - (1/3).pi.r².h
= (2/3) pi.r².h cm³
