TRIÂNGULOS

No plano, triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência  da definição dos mesmos), por três segmentos de reta e ainda: triãngulo é todo polígono de três lados.

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

1. QUANTO AOS LADOS:

* Isósceles: tem dois lados congruentes ( lados com a mesma medida)

* Escaleno: tem três lados com medidas diferentes.

* Equilátero: tem os três lados congruentes (com medidas iguais)

2. QUANTO AOS ÂNGULOS

* Acutângulo: tem três ângulos agudos.( menor que 90º )

* Retângulo: tem um ângulo reto.( igual a 90º )

* Obtusângulo: tem um ângulo obtuso. ( maior que 90º e menor que 180º )

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. 

O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados.

Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

Sabemos que um triângulo é formado por três lados que possuem uma determinada medida, mas essas não podem ser escolhidas aleatoriamente como os lados de um quadrado ou de um retângulo, é preciso seguir uma regra.

Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o resumo da regra abaixo:

| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:
Com os três segmentos de reta medindo 5cm, 10cm e 9cm, podemos formar um triângulo?
Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para todos os lados.
|10 – 9| < 5 < 10 + 9
1 < 5 <19 (VERDADEIRO)

|9 – 5| < 10 < 9 + 5
4 < 10 < 14 (VERDADEIRO)

|5 – 10| < 9 < 10 + 5
5 < 9 < 15 (VERDADEIRO)

Quando um lado não obedece à regra não é possível existir um triângulo.

PROPRIEDADE DE UM TRIÂNGULO ( ângulos internos )

A soma das amplitudes ( medidas ) dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º (igual a um ângulo raso).

PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO
Todo o ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao mesmo.
Demonstração: Pela propriedade dos ângulos internos mas porque são ângulos suplementares (a soma das suas amplitudes é 180º)

A ARTE E A GEOMETRIA

A associação da Matemática à Arte não é de hoje, existindo uma estreita relação entre elas. Os pontos em comum são tantos que não podemos de modo nenhum pensar na Arte e na Matemática como campos completamente distintos! Com efeito, quando se pensa em Arte e Matemática surge-nos imediatamente o nome de alguns artistas, tais como: Escher; Mondrian; Vassarely e Kandinsky, Albers; Mondrian; Huszár; Balla; Calder e Sónia Delaunay. No entanto, existem muitos outros artistas que, como eles, se inspiraram na Matemática para melhor exprimirem as suas ideias, usando-a como técnica, simbolicamente ou até mesmo como tema.

Como a geometria influencia a Arte?

A perfeição de polígonos convexos (nenhum ângulo interno é maior que 180°), sua disposição e coloração ditam, ao longo dos tempos, modelos de composição artística, seja através da pintura em telas, da modelagem 3D de esculturas e, até mesmo, as construções arquitetônicas.

Essa expressão da beleza matemática evoluiu a partir dos gregos e dos egípcios.

No Egito, as Pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a proporção áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado é igual ao número de ouro.

O Partenon, na Grécia, é um outro registro arquitetônico do uso da razão áurea.

No que trata da pintura em telas, utilizando esses princípios matemáticos, podem ser citados o italiano Leonardo da Vinci (representante do Alto Renascimento) e o espanhol Salvador Dali (representante do Surrealismo).

Em um de seus desenhos mais famosos, o Homem Vitruviano, está um belo estudo sobre a proporção do corpo humano.

A cor tem sido outro aspecto preponderante da arte. Daí esta se encontrar sempre associada à transmissão de mensagens, podendo assumir intenções diferentes consoante a forma como é aplicada. Lembra-te que a cor influencia o estado de espírito das pessoas, comportamento e transmite-nos sensações.

Desta forma:

1. Identifica as cores que podes observar na imagem e agrupa-as em: primárias, secundárias e neutras.
2. Indica como é possivel obter as cores secundarias presentes na imagem.
3. Quais as cores que te transmitem sensações de frio e de calor, presentes na imagem? Explica porquê?

Saindo da geometria bidimensional, podemos citar o uso da tridimensional na Arte, bem exemplificada pelo Cubismo. Neste movimento a idéia é utilizar os sólidos para construir as formas, humanas ou não; assim, os cubistas fazem uma leitura conceitual do posicionamento de um limitado número de objetos. É o perfeito abandono da tradição de um único ponto de vista, utilizando diversos ângulos de visão de um objeto e introduzindo o elemento tempo ou movimento em suas composições.

Num paralelo entre o artista e o matemático, vemos que, o primeiro, preocupa-se em manter a harmonia com os objetos que está manipulando, enquanto o segundo deseja garantir que a proporção harmônica mantenha-se constante através da razão áurea, do encaixe perfeito entre os polígonos e sólidos ou qualquer outra relação matemática devidamente comprovada.