Retém a instrução e não a largues. guarda-a, porque ela é a tua vida. (Pv. 4:13)

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20 de maio de 2021

NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS

Denominamos   número   complexo   ao   número   


Z   da   forma     Z = a + bi,    sendo a e b números reais.


Onde:


Z é o número complexo


a é a parte real de Z


bi é a parte imaginária de Z


i é a unidade imaginária.


A unidade imaginária i é definida segundo a igualdade


  i2 = -1, onde podemos escrever :     i =



Com a utilização desse novo símbolo podemos determinar as raízes

 

de uma equação do 2o grau   que tem delta negativo. ( Δ < 0 ).


Exemplo:


Determine as raízes da equação: x2 – 2x + 2 = 0



Resposta  


temos: a = 1 , b = - 2 e c = 2


Δ = b2 – 4 . a . c


Δ = ( -2 )2 – 4 . 1 . 2


Δ = 4 – 8


Δ = - 4 impossível no conjunto dos reais.





Exercícios


1.) Calcule as raízes nas equações:


a) x2 +2x + 5 = 0


b) x² + 4x − 29 = 0.


CARACTERÍSTICAS DE UM NÚMERO COMPLEXO



I
MAGINÁRIO PURO: 



Quando a parte real é nula, por exemplo, –5e 5i 


 são imaginários puros  por não possuírem parte real.



Exemplo:  Determine o valor de k para que o número complexo



z = (k – 8) + 3i seja imaginário puro: 



Resolução




Para   que   o   número seja imaginário puro, a parte


real deve ser nula:



 K – 8 = 0 K= 0 + 8 K = 8



REAL: Quando a parte imaginária é nula, por exemplo, 4 ou 4 + 0i.



Exemplo:  Determine o valor de m para que o número complexo


z = 3+(m + 4)i seja um número real:



Resolução




Para que o número seja real, a parte imaginária deve ser nula:


 m +4 = 0 m = 0 – 4 m = - 4


Adição

Considerando-se os complexos:


z1 = a+bi   e   z 2  =  c+di      


a soma z1 + z 2 obtida somando-se suas partes reais


e imaginárias separadamente:



Exemplos:


(2 + 3i) + (5 + 4i) = (2+5) + (3 + 4)i = 7 + 7i


2i + (6 + 9i) = (0 + 6) + (2 + 9)i = 6 + 11i



(5 + 3i) + 3 = (5 + 3) + (3 + 0)i = 8 + 3i


Subtração


Dados os complexos  z1 = a - bi e z 2 = c - di   



a diferença z1 - z 2 é obtida subtraindo-se suas partes reais


e imaginárias separadamente:



Exemplos


(2 + 3i) - (5 + 4i) = (2 - 5) + (3 - 4)i = -3 - i


2i - (6 - 9i) = (0 - 6) + (2 -(-9))i = -6 + 11i


(5 + 3i) - 3 = (5 - 3) + (3 - 0)i = 2 + 3i



Potenciação:



 Na potenciação de números complexos encontramos 


uma regularidade, os resultados começam a se repetir


à partir do 4 termo.  


veja:  


 Para resolver uma potencia temos que dividir o expoente por 4 e considerar o resto

como novo expoente. 

veja:

fazemos da mesmo forma com qualquer potência.


1.) Calcule o valor de cada expressão:


a) i125 – i126 + i127 – i128


b 2i125 + 3i120 - 5i207 2i1028


c) 3i1205 – 4i216 - 2i327 + 3i208



MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS


Ao multiplicar dois números complexos devemos proceder como expressões algébricas, aplicando a propriedade distributiva e as potências de i:


Exemplo: a) z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 4i, determine Z1 . Z2


Resposta:


( 2 + 3i) . ( 1 – 4i ) =  2 . 1 + 2.(-4i) + 3i . 1 + 3i . (-4i ) 


= 2 - 8i + 3i -12i2 

                                                                                          

  2 - 5i -12.( -1 )


  = 2 – 5i + 12

                                                                                          

  = 14 - 5i




Exercícios


1.) Calcule:


a) ( 2 + 5i ) . ( +2i ) =


b) ( 6 – 5i ) ( 4+ i ) =


2.) Resolva as expressões:


a) 2( 3 + 4i ) + 3( 1 + 2i ) =

b) ( 3 – 4i ) . ( 3 + 4i ) + 4( 5 + i) =

c) 3( 1 – i ) + ( 2 + i ) ( 2 – i ) =



CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO


Denominamos conjugado de um número complexo Z = a + bi ao número complexo



Ex: Dado o complexo Z = 2 + 5i o seu conjugado é o número




Para obter o conjugado de um número, conservamos a parte real 

e invertemos o sinal da parte imaginária.

DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO




1.) Calcule as Divisões:


1.) Calcule as Divisões:


a) ( 5 – 3i ) =

    ( 7 + 2i )

                                                


 b) ( 3 – 8i ) =


      (4 – 5i ) 


 c) ( 4 + 9i ) = 

     ( 5 + 7i )


   d) ( 2 – 3i ) =

       ( 9 – 6i )