NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS

Denominamos   número   complexo   ao   número   

Z   da   forma     Z = a + bi,    sendo a e b números reais.

Onde:

Z é o número complexo

a é a parte real de Z

bi é a parte imaginária de Z

i é a unidade imaginária.

A unidade imaginária i é definida segundo a igualdade

  i² = -1, onde podemos escrever :     i =

Com a utilização desse novo símbolo podemos determinar as raízes

 

de uma equação do 2^o grau   que tem delta negativo. ( Δ < 0 ).

Exemplo:

Determine as raízes da equação: x² – 2x + 2 = 0

Resposta  

temos: a = 1 , b = - 2 e c = 2

Δ = b² – 4 . a . c

Δ = ( -2 )² – 4 . 1 . 2

Δ = 4 – 8

Δ = - 4 impossível no conjunto dos reais.

Exercícios

1.) Calcule as raízes nas equações:

a) x² +2x + 5 = 0

b) −x² + 4x − 29 = 0.

CARACTERÍSTICAS DE UM NÚMERO COMPLEXO

IMAGINÁRIO PURO: 

Quando a parte real é nula, por exemplo, –5i e 5i 

 são imaginários puros  por não possuírem parte real.

Exemplo:  Determine o valor de k para que o número complexo

z = (k – 8) + 3i seja imaginário puro: 

Resolução

Para   que   o   número seja imaginário puro, a parte

real deve ser nula:

 K – 8 = 0 K= 0 + 8 K = 8

REAL: Quando a parte imaginária é nula, por exemplo, 4 ou 4 + 0i.

Exemplo:  Determine o valor de m para que o número complexo

z = 3+(m + 4)i seja um número real:

Resolução

Para que o número seja real, a parte imaginária deve ser nula:

 m +4 = 0 m = 0 – 4 m = - 4

Adição

Considerando-se os complexos:

z₁ = a+bi   e   z ₂  =  c+di      

a soma z₁ + z ₂ obtida somando-se suas partes reais

e imaginárias separadamente:

Exemplos:

(2 + 3i) + (5 + 4i) = (2+5) + (3 + 4)i = 7 + 7i

2i + (6 + 9i) = (0 + 6) + (2 + 9)i = 6 + 11i

(5 + 3i) + 3 = (5 + 3) + (3 + 0)i = 8 + 3i

Subtração

Dados os complexos  z₁ = a - bi e z ₂ = c - di   

a diferença z₁ - z ₂ é obtida subtraindo-se suas partes reais

e imaginárias separadamente:

Exemplos

(2 + 3i) - (5 + 4i) = (2 - 5) + (3 - 4)i = -3 - i

2i - (6 - 9i) = (0 - 6) + (2 -(-9))i = -6 + 11i

(5 + 3i) - 3 = (5 - 3) + (3 - 0)i = 2 + 3i

Potenciação:

 Na potenciação de números complexos encontramos 

uma regularidade, os resultados começam a se repetir

à partir do 4 termo.  

veja:  

 Para resolver uma potencia temos que dividir o expoente por 4 e considerar o resto

como novo expoente. 

veja:

fazemos da mesmo forma com qualquer potência.

1.) Calcule o valor de cada expressão:

a) i¹²⁵ – i¹²⁶ + i¹²⁷ – i¹²⁸

b 2i¹²⁵ + 3i¹²⁰ - 5i²⁰⁷ – 2i¹⁰²⁸

c) 3i¹²⁰⁵ – 4i²¹⁶ - 2i³²⁷ + 3i²⁰⁸

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Ao multiplicar dois números complexos devemos proceder como expressões algébricas, aplicando a propriedade distributiva e as potências de i:

Exemplo: a) z₁ = 2 + 3i e z₂ = 1 – 4i, determine Z₁ . Z₂

Resposta:

( 2 + 3i) . ( 1 – 4i ) =  2 . 1 + 2.(-4i) + 3i . 1 + 3i . (-4i ) 

= 2 - 8i + 3i -12i² 

                                                                                          

  2 - 5i -12.( -1 )

  = 2 – 5i + 12

                                                                                          

  = 14 - 5i

Exercícios

1.) Calcule:

a) ( 2 + 5i ) . ( +2i ) =

b) ( 6 – 5i ) ( 4+ i ) =

2.) Resolva as expressões:

a) 2( 3 + 4i ) + 3( 1 + 2i ) =

b) ( 3 – 4i ) . ( 3 + 4i ) + 4( 5 + i) =

c) 3( 1 – i ) + ( 2 + i ) ( 2 – i ) =

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Denominamos conjugado de um número complexo Z = a + bi ao número complexo

Ex: Dado o complexo Z = 2 + 5i o seu conjugado é o número

Para obter o conjugado de um número, conservamos a parte real 

e invertemos o sinal da parte imaginária.

DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO

1.) Calcule as Divisões:

1.) Calcule as Divisões:

a) ( 5 – 3i ) =

    ( 7 + 2i )

                                                

 b) ( 3 – 8i ) =

      (4 – 5i ) 

 c) ( 4 + 9i ) = 

     ( 5 + 7i )

   d) ( 2 – 3i ) =

       ( 9 – 6i )