Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo
Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três
axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:
a) Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:
- Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
- Conjunto dos números inteiros pares;
- Conjunto dos dias da semana;
- Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.
b) Elemento
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:
- V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
- 2, 4, 6 são elementos do segundo;
- Sábado, Domingo do terceiro; e
- FHC, Lula do último.
c) Pertinência entre elemento e conjunto
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.
Notação
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:
Representações de Conjuntos
a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:
- Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
- Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
- Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Observações:
- Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
- É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
- Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
- Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:
- A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
- B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
- C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:
- Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
- Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
- Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Exemplos de Conjuntos Vazios:
- {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
- Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
- {x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.
Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:
- A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
- {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
- É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
Subconjunto
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notação
significa “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:
- {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Ø C {a, b};
- {a, b} C {a, b};
- {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:
Propriedades da Inclusão
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:
- Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
- D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
- D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
- D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.
Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:
- Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
- Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
- Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Observações:
- Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
- Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
- No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
- Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
- Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.
Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.
Reunião ou União
Consideremos os dois conjuntos:
A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}
Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a Aou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:
C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:
A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.
Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
Exemplos:
- {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
- {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
Propriedades da UniãoSejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
- Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
- Comutativa: A U B = B U A;
- Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
- Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
Demonstração da propriedade comutativa:
Da definição da união de conjuntos temos:
Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.
Intersecção
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.
Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
Da definição de intersecção resulta que:
Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:
2. Comutativa:
3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:
4. Associativa:
Demonstração da propriedade associativa:
O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):
onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:
Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B sãoconjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Propriedades da União e Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:
Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.
Diferença
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:
- {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
- {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
- {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.
Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.
Complementar de B em A
Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
Exemplos:
- A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
- A = B = {1} => complementar: A – B = Ø
Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.
Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:
Referências
- Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
- Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 20
